区间套定理图解（区间套定理）

大家好,小陆来为大家解答以上的问题。区间套定理图解，区间套定理这个很多人还不知道,现在让我们一起来看看吧！

1、你是否要的这个？区间套定理ZT下面给出一个有关区间套的定理。

2、记得我们曾经用有理区间套来定义实数，那种方式直观但不尽完美。

3、现在很高兴可以在我们新的实数理论中，证明与区间套有关的结论。

4、我们将看到，这个区间套定理只是确界定理的一个应用而已。

5、[定理]区间套定理设{[An,Bn]|n=1,2,…}是一串闭区间，且满足条件[An,Bn]Ê[An+1,Bn+1](n=1,2,…)，则∩[An,Bn]¹Æ(n=1,2,…)证明：由假设对每个自然数n，都有[An,Bn]Ê[An+1,Bn+1]，所以当自然数n£m时，有[An,Bn]Ê[Am,Bm]，即有An£Am£Bm£Bn。

6、由此就有An£Bm和Am£Bn。

7、因此，不等式An£Bm对于任意的自然数都成立。

8、于是集合A={A1,A2,…,An,…}是有上界的，因为每个Bm都是它的上界。

9、根据上确界定理，集合A有上确界X0。

10、因此对每个自然数n，由AnÎA，有An£X0。

11、又因为对于每个自然数n，Bn都是A的上界，因此X0£Bn。

12、所以对于每个自然数n，都有An£X0£Bn，即X0Î[An,Bn]，故X0Î∩[An,Bn]，从而有∩[An,Bn]¹Æ。

13、证毕。

14、顺便指出，上述定理并不要求对于每个闭区间[An,Bn]，有Bn>An。

15、只要求Bn³An就可以了（当然，如果存在自然数k，使得Bk=Ak(=X0)，那么此后所有的区间都只包含一个实数，且∩[An,Bn]={X0}）。

16、另外，若上面的区间套数量是有限的，显然定理也是成立的。

17、这个区间套定理也让我们产生这样一个问题：在什么情况下，∩[An,Bn]只包含一个实数？根据以前的经验，我们可能这样猜想：若区间[An,Bn]的“长度”趋向于零，那么∩[An,Bn]将包含唯一的实数。

18、但是，我们这个实数理论中，目前还尚无“距离”的概念。

19、因此我们要另外考虑。

20、在上面定理的证明过程中我们看到，A有上确界X0。

21、与此类似，设B={B1,B2,…,Bn,…}，那么B有下确界Y0。

22、我们可能已经想到了，∩[An,Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。

23、下面给出证明。

24、[命题]设{[An,Bn]|n=1,2,…}是闭区间套，[An,Bn]Ê[An+1,Bn+1](n=1,2,…)。

25、另设A={A1,A2,…,An,…}，有上确界X0；B={B1,B2,…,Bn,…}，有下确界Y0。

26、那么∩[An,Bn]包含唯一实数的充分必要条件是X0=Y0。

27、证明：先证必要性。

28、设∩[An,Bn]包含唯一的实数，那么根据区间套定理的证明，A={A1,A2,…,An,…}的上确界X0Î∩[An,Bn]。

29、同理可证Y0Î∩[An,Bn]。

30、但已知∩[An,Bn]只包含一个实数，因此X0=Y0。

31、再证充分性。

32、因为”XÎ∩[An,Bn]，有An£X£Bn，对于任意的自然数n都成立。

33、因此X是A={A1,A2,…,An,…}的上界。

34、由于X0是A的上确界，所以X0£X。

35、类似地，因为X是B={B1,B2,…,Bn,…}的下界，所以X£Y0。

36、这样就有X0£X£Y0。

37、但已知X0=Y0，所以满足条件的X只有一个（X=X0=Y0），即∩[An,Bn]只包含一个实数。

38、证毕。

39、就是图中的定理1。

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